數學不是算術
信報財經新聞A17 | 時事評論 | 自由的國度 | By 盧安迪 2017-07-29
標示關鍵字 標示關鍵詞並按此開始搜索
數學不是算術
政府近年銳意推動STEM（科學、科技、工程、數學）教育，家長安排子女參加坊間各種數學課程的興趣亦有增無減。在這個情勢下，我們更須認清數學的本質和重點，以在不同類型的校外課程之間作出明智的選擇。
數學界最高殊榮菲爾茲獎得主Bill Thurston曾經說：“Mathematics is not about numbers, equations, computations, or algorithms: it is about understanding.”數學研究的是不同概念之間的邏輯關係。當然，在日常生活接觸的範圍，這些邏輯關係往往以數字和四則運算的形式表現出來，但到了愈高層次的數學，數字便會愈少，有時甚至連代數算式也不多，只有一段一段邏輯推理的文字。
因此，若要長遠學好數學，重點不在於機械式、重複性的運算訓練（無論數字抑或代數運算），而在於培養邏輯思維能力。具體來說，我認為有三點至關重要：一、深刻理解基本概念；二、學會把概念推廣（generalize）；三、學會「殺牛用雞刀」。
首先，概念的定義是邏輯推理的起點和基礎。如果對基本概念一知半解，面對熟悉的考試題型或許尚能應付，但遇到一些較複雜或較陌生的情況則會頭緒混亂。我曾聽過一個笑話：有一個小孩準備坐飛機，他知道飛機上有某些概率會有恐怖分子攜帶炸彈，但飛機上有兩個炸彈的概率則極小；於是他心想：「我自己先帶一個炸彈上飛機（但不引爆之），那麼還有其他人帶炸彈的概率就很小了！」
我們直覺上都會覺得這個小孩的推理很有問題，但如果不是對條件概率（conditional probability）的概念有透徹理解，則難以準確扼要地指出小孩推理的謬誤所在。
思維能力比運算重要
第二，我們掌握基本的概念和知識後，還應思考如何把他們推廣至更一般的情況。根據我的觀察，學生可分為三類：第一類學生考完試後，就把試題拋諸腦後；第二類學生考完試後，仍會繼續解決試題；第三類學生考完試後，不但繼續鑽研試題，更會思考試題的延伸版本。長遠取得最大進步的，往往是第三類學生。
從前美國有位學生Carl Pomerance，中學時參加一次數學比賽，其中一題是要在5分鐘內把8051這個數進行質因數分解（即找出它是哪些質數的乘積）。如果他一個一個質因數嘗試，應該可於5分鐘內找到答案，但他卻把所有時間花在尋找巧妙的方法。
巧妙的方法確實存在（讀者可嘗試把8051寫成兩個平方數之差），但Pomerance當場卻未能想出，使他大感不忿，立志發明系統性地把正整數分解的一般方法，終在幾十年後發明驚世駭俗的「二次篩法」（quadratic sieve），而這個問題跟電子加密技術有密切關係。
第三，也是最重要的能力，就是「殺牛用雞刀」，即是通過靈活運用有限的知識而解決難題。我中一時作為兩名香港代表之一，參加一個全國數學比賽。其中一題是要計算三邊長度為13的平方根、29的平方根、34的平方根的三角形的面積。我當時想不到其他方法，便直接用專為計算已知三邊長度的三角形面積的海倫公式（Heron's formula），經大量「硬爆」而算出答案。考完出來後，我問隊友李祐榮同學有沒有做出這題，他卻一語驚醒夢中人：原來只要巧妙地劃出一個正方形作為輔助，便可用非常簡易的知識輕易解決問題！
港人有權參加國際賽
武俠小說《神雕俠侶》主角楊過以獨孤求敗的木劍苦練，使武功登峰造極。當一個人以草木竹石均可為劍，拿起真正的利劍時自是所向披靡。同樣道理，如果學生懂得靈活運用基本的知識解決難題，待將來學了進階知識後便更是如虎添翼。而這正是全球中學生最高級數學比賽──國際數學奧林匹克（IMO）的宗旨。IMO沒有任何試題需要用到微積分，但有相當部分的菲爾茲獎得主都曾在此比賽嶄露頭角。
今年，港隊在巴西主辦的第58屆IMO獲得1金、1銀、3銅、1個優異獎，在111個國家和地區中排名26。雖然我只是功勞最小的教練（我只是每年暑假回港時幫忙教一兩堂），但也為港隊的成績深感高興。江東子弟多才俊，我們明年定將再接再厲，不斷進步。
最後值得一提的是，除了IMO外，香港每年也有派隊參加其他高中階段的國際科學奧林匹克，包括國際物理奧林匹克和國際資訊奧林匹克，並正籌備參加國際生物奧林匹克；香港亦曾嘗試參加國際化學奧林匹克，但賽會方面卻以香港不是國家為由，拒絕讓香港參賽。
事實上，香港在各項全球性教育活動派出代表團的資格，不但載於《基本法》第149條，亦早在《中英聯合聲明》附件一第11段中得到承認。因此，我衷心希望中國政府和英國政府可以在此事上協助交涉，以維護香港人在「一國兩制」下應有的權利。
盧安迪_史丹福大學經濟學系博士生
(編者按：盧安迪最新著作《自由的國度──普林斯頓尖子看美國》現已發售)
歡迎訂購：實體書、電子書
#盧安迪 #時事評論 #自由的國度 - 數學不是算術
頁:
[1]